July
Wednesday 17 September 2008 photo 18/18
|
"Att bevisa" är att visa hur något följer strikt logiskt från vissa utgångspunkter, s.k. de premisserna. I matematik kallas premisserna oftast axiom. (Man skiljer på två olika slags premisser: axiom och postulat. I rent logisk mening är dock axiom och postulat samma sak.) För "att bevisa" att 1+1=2 måste man alltså först välja ett axiomsystem att utgå från. Om axiomsystemet i sig självt dessutom inte skulle innehålla något av "1", "+" eller "2", så måste man dessutom _explicit definiera_ dessa saknade begrepp. Sedan får man visa att satsen "1+1=2" faktiskt följer från axiomen (och ev. definitionerna).
Många olika axiomsystem har föreslagits för att grunda matematisk aritmetik. Ett enkelt och välkänt exempel är det som föreslogs av Giussepe Peano
http://sv.wikipedia.org/wiki/Peanos_axiomsystem
(I detalj visar du 1+1=2 från wikipedias version av axiomen (versionen där vi startar med 0):
Definiera efterföljaren till 0 som 1.
Definiera efterföljaren till 1 som 2.
1) Från P1, P2, P3 följer att 1 enligt definitionen ovan är ett unikt tal.
2) Från 1) och P2, P3 följer att 2 enligt definitionen ovan är ett unikt tal.
3) I definitionen av "+", välj y=0 i ("x + efterföljaren till y = efterföljaren till (x+y)")
d.v.s. x+ efterföljaren till 0 = efterfföljaren till (x+0)
d.v.s. x+1= efterföljaren till (x+0) (från definitionen av 1)
4) I ovanstående, välj x=1, d.v.s.
1+1=efterföljaren till (1+0)
5) Men från definitionen av "+" har vi ("x+0=x") att
efterföljaren till (1+0) = efterföljaren till 1
= 2 (från definitionen av 2)
Från 4) och 5) har vi
1+1=2
Vilket Skulle Bevisas)
Beviset visar att 1+1=2 "verkligen är sant" _om_ axiomen "verkligen är sanna". Men beviset som sådant har ingenting med att göra om axiomen är "sanna". (Och huruvida det finns "verkliga sanningar" i matematik eller inte är en kontroversiell fråga.)
Många olika axiomsystem har föreslagits för att grunda matematisk aritmetik. Ett enkelt och välkänt exempel är det som föreslogs av Giussepe Peano
(I detalj visar du 1+1=2 från wikipedias version av axiomen (versionen där vi startar med 0):
Definiera efterföljaren till 0 som 1.
Definiera efterföljaren till 1 som 2.
1) Från P1, P2, P3 följer att 1 enligt definitionen ovan är ett unikt tal.
2) Från 1) och P2, P3 följer att 2 enligt definitionen ovan är ett unikt tal.
3) I definitionen av "+", välj y=0 i ("x + efterföljaren till y = efterföljaren till (x+y)")
d.v.s. x+ efterföljaren till 0 = efterfföljaren till (x+0)
d.v.s. x+1= efterföljaren till (x+0) (från definitionen av 1)
4) I ovanstående, välj x=1, d.v.s.
1+1=efterföljaren till (1+0)
5) Men från definitionen av "+" har vi ("x+0=x") att
efterföljaren till (1+0) = efterföljaren till 1
= 2 (från definitionen av 2)
Från 4) och 5) har vi
1+1=2
Vilket Skulle Bevisas)
Beviset visar att 1+1=2 "verkligen är sant" _om_ axiomen "verkligen är sanna". Men beviset som sådant har ingenting med att göra om axiomen är "sanna". (Och huruvida det finns "verkliga sanningar" i matematik eller inte är en kontroversiell fråga.)
Visa toppen
Show footer